Calcolare il massimo e il minimo assoluti della funzione y=5|x|-2x² nell’intervallo -2≤x≤2.


1) Poichè |x|=x se x≥0, mentre |x|=-x se x<0, la funzione vale:

a) y=5x-2x² se x≥0;
b) y=-5x-2x² se x<0.

2) Calcoliamo la derivata della funzione:

a) y’=5-4x se x>0;
b) y’=-5-4x se x<0;
c) y’ non esiste se x=0, dove si annulla l’argomento del modulo.

3) Imponiamo y’=0:

a) 5-4x=0, e quindi x=5/4 se x>0: questo valore è accettabile in quanto:

I) è compatibile con il caso a (5/4>0);
II) è compatibile con le limitazioni (-2≤5/4≤2).

b) -5-4x=0, e quindi x=-5/4 se x<0: questo valore è accettabile in quanto:

I) è compatibile con il caso b (-5/4<0);
II) è compatibile con le limitazioni (-2≤-5/4≤2).

4) Confronto tra le ordinate: le ascisse corrispondenti al massimo e al minimo possono essere: gli estremi del dominio (-2 e 2), i punti dove si annulla la derivata (-5/4 e 5/4), o quelli dove la derivata non esiste (0).
Sostituiamo quindi nella funzione, al posto della x, i valori -2, -5/4, 0, 5/4 e 2:

a) f(-2)=5·|-2|-2(-2)²=10-8=2
a) f(-5/4)=5·|-5/4|-2(-5/4)²=25/4-2·25/16=25/4-25/8=25/8=3,125
c) f(0)=5·|0|-2(0)²=0
d) f(5/4)=5·|5/4|-2(5/4)²=25/4-2·25/16=25/4-25/8=25/8=3,125
a) f(2)=5·|2|-2·2²=10-8=2

Il minimo è il più piccolo valore tra quelli che abbiamo calcolato, cioè 0, mentre il massimo è il più grande, ovvero 25/8. La funzione y=5|x|-2x², nell’intervallo -2≤x≤2, ammette quindi minimo per x=0 e massimo per x=-5/4 e per x=5/4 (i valori corrispondenti della x).

N.B. In questo esercizio sono presenti due punti di massimo nei punti dove si annulla la derivata, mentre il minimo è in quello dove non esiste.