Il massimo e il minimo assoluto di una funzione possono essere situati:

1) agli estremi del dominio;
2) in un minimo o in un massimo relativo.

In questo secondo caso può verificarsi uno dei seguenti casi:

2a) la derivata esiste, e quindi si deve annullare;
2b) la derivata non esiste.

Di conseguenza, il massimo e il minimo assoluto possono essere situati:

1) agli estremi del dominio;
2) in un punto dove la derivata si annulla;
3) in un punto dove la derivata non esiste.

Per risolvere un problema di massimo e di minimo, quindi, una volta note la funzione e le limitazioni, sarà sufficiente:

1) calcolare la derivata della funzione;
2) trovare i punti dove la derivata si annulla, escludendo eventuali valori non accettabili a causa delle limitazioni derivanti dal dominio della funzione;
3) calcolare, se presenti, gli eventuali punti dove la derivata non esiste (per esempio, quelli dove si annullano gli argomenti degli eventuali moduli);
4) sostituire nella funzione, al posto della x, i valori trovati ai punti 2 e 3, nonché gli estremi del dominio;
5) confrontare i valori trovati al punto 4: il più piccolo è il minimo, mentre il più grande è il massimo.
6) Se la funzione non è definita in un intervallo chiuso e limitato, anziché sostituire al posto della x gli estremi del dominio, calcolare i limiti corrispondenti. Se il valore più piccolo (o il più grande) corrispondono solo ad un limite, e non vengono raggiunti o superati da un’ordinata, vuol dire che il minimo (o il massimo) non esistono, in quanto la funzione assume valori vicini quanto vogliamo al valore del limite senza però mai raggiungerlo o superarlo.

Si noti che lo studio del segno della derivata, che la quasi totalità dei libri di testo propone come necessaria, è invece assolutamente inutile in un problema di massimo e di minimo (mentre, viceversa, è indispensabile se cerchiamo i minimi e i massimi relativi, e quindi, in particolare, in uno studio di funzione), in quanto:

1) sapere se un punto dove si annulla la derivata è un minimo o un massimo relativo è risolutivo sono in uno dei seguenti casi:

a) la funzione prima cresce e poi decresce, e noi cerchiamo il massimo;
b) la funzione prima decresce e poi cresce, e noi cerchiamo il minimo.

Basterebbe l’esistenza di un massimo relativo seguito da un minimo relativo per non poter più avere la certezza né che il primo sia il massimo assoluto, né che il secondo sia il minimo assoluto (vedi figura 1, grafico della funzione y=2x³+3x²-12x nell’intervallo -4≤x≤4).

2) Lo studio del segno, richiedendo la conoscenza di svariati metodi per risolvere le disequazioni, è più difficile del confronto delle ordinate (che può essere, al limite, effettuato aiutandosi con la calcolatrice scientifica): e questo è un buon motivo per preferire il secondo metodo anche quando il primo è risolutivo.

3) Abituarsi a studiare il segno della derivata è pericoloso, in quanto spesso dà allo studente un falso senso di sicurezza (anche a causa della malsana abitudine, in molti libri di testo, di proporre quasi sempre problemi in cui il massimo o il minimo richiesto è raggiunto proprio nel punto dove si annulla la derivata: il che, come abbiamo già visto, è possibile ma non necessario): come se l’aver trovato che per un valore di x abbiamo un minimo o un massimo relativo comporti automaticamente che questo debba coincidere con quello assoluto. E porta a non sapere come comportarsi se è stato trovato un minimo relativo, mentre si cercava il massimo assoluto, o viceversa (vedi problema n.1 dell’Esame di Stato 2005-2006 - sessione ordinaria, dove vengono richiesti sia il minimo che il massimo assoluto di una funzione che ha un solo punto dove si annulla la derivata).