COVID-19 E ANDAMENTO ESPONENZIALE

La funzione esponenziale

Narra la leggenda che l’inventore del gioco degli scacchi abbia chiesto in premio un chicco di grano sulla prima casella della scacchiera, due sulla seconda, quattro sulla terza, e così via fino alla sessantaquattresima. Il faraone si stupì della richiesta, apparentemente modesta, ma quando fecero i calcoli si resero conto che non sarebbe bastato l’intero raccolto di dieci anni dell’Egitto per soddisfare la richiesta: 18.446.744.073.709.551.615 chicchi di grano, per un totale (supponendo che un chicco di grano pesi mediamente 40 milligrammi) di circa di quasi 738 miliardi di tonnellate. Per avere un termine di paragone, la produzione mondiale di grano nel 2009 è stata di circa 682 milioni di tonnellate. Nella nostra epoca occorrerebbe la produzione mondiale di grano di più di 1.000 anni solo per soddisfare la richiesta dell’inventore degli scacchi!

Crescita esponenziale: l’andamento dei chicchi di grano in ogni singola casella viene riprodotto dalla funzione (dove x è il numero della casella, partendo da 0 anziché da 1), e y è il numero di chicchi di grano che la singola casella deve contenere.

La funzione cresce in modo estremamente rapido (raddoppia ad ogni passaggio). La funzione (vedi figura a lato) cresce ancora più rapidamente (triplica ad ogni passaggio), ancora di più, e così via. Tuttavia, qualunque sia la funzione del tipo (funzione esponenziale), dove è una costante, l’andamento è qualitativamente analogo, purché sia : tende sempre molto rapidamente a (ovvero, diventa molto rapidamente grande a piacere).

Per esempio, : se può rappresentare qualcosa che raddoppia ogni giorno, descrive qualcosa che raddoppia ogni 12 ore. Analogamente, se una quantità si incrementa del 6% al giorno, in 12 giorni, grosso modo, si raddoppia. Una base più o meno grande incide quindi sul tempo necessario a raggiungere un certo valore, ma non cambia qualitativamente l’andamento del fenomeno. Ovviamente per noi esseri umani, che abbiamo un’esistenza limitata nel tempo, non è la stessa cosa avere a che fare con qualcosa che raddoppia ogni giorno, oppure ogni miliardo di anni. Ma non cambia molto se un’epidemia si conclude il 15 maggio, oppure il 20 dello stesso mese.

Ipotesi di lavoro: il numero di malati da Covid-19 in Italia può essere descritto da una funzione esponenziale, ovvero da una funzione del tipo

, dove

è il numero del giorno,

è il numero di malati in Italia (compresi guariti e deceduti) rilevati il giorno x,

e sono costanti da determinare.

Dati utilizzati per determinare e (nota: come giorno 1 ho utilizzato, in modo del tutto arbitrario, il primo in cui ho cominciato a segnare i dati, ovvero il 12/03/2020):

Giorno 5 (16/03/2020): 27980 malati in Italia (compresi guariti e deceduti).

Giorno 10 (21/03/2020): 53578 malati in Italia (compresi guariti e deceduti).

, quindi (condizione di appartenenza: se la funzione passa per il punto , le sue coordinate devono verificare l’equazione );

, quindi (condizione di appartenenza: se la funzione passa per il punto , le sue coordinate devono verificare l’equazione ).

Calcoliamo .

Dividiamo membro a membro e , e utilizziamo le proprietà delle potenze:

, ovvero:

Estraiamo radice quinta ad entrambi i membri:

, ovvero:

Calcoliamo utilizzando il dato relativo al giorno 5 e il valore di appena calcolato:

, ovvero:

Moltiplichiamo entrambi i membri per il reciproco del coefficiente di :

, ovvero:

Se il nostro modello è corretto, la funzione esponenziale da utilizzare è

(la parentesi non è necessaria matematicamente; la uso solo per maggior chiarezza).

Se confrontiamo, in un grafico, i valori della nostra funzione esponenziale con i dati effettivi (vedi figura seguente), troviamo una corrispondenza molto buona con i dati dei nuovi contagi in Italia tra il 12/03/2020 e il 21/03/2020 (e ancora di più nel periodo compreso tra il 14/03/2020 e il 21/03/2020). Se il nostro modello continuasse ad essere valido fino al 15/05/2020, ovvero continuando con questo ritmo, la funzione fornisce, al 15/05/2020, un numero di contagiati pari a 68.000.666. Poiché gli abitanti in Italia, al 2018, erano circa 60.480.000, questo vuol dire che, se non cambia l’andamento del contagio, il giorno 15 maggio 2020 (cioè tra meno di due mesi) tutti gli italiani saranno stati contagiati.

Ovviamente, estrapolare su un periodo relativamente lungo (quasi due mesi) un andamento che corrisponde molto bene ai dati reali, ma avendolo verificato su un periodo di soli dieci giorni, potrebbe non essere così attendibile; tuttavia, questo ci dà un’idea della situazione attuale, e dei pericoli insiti nella possibile evoluzione futura della malattia.

Aggiornamento del 23 marzo 2020: i dati degli ultimi due giorni segnalano, in Italia, un lieve miglioramento, iniziando a discostarsi dall’andamento descritto dalla funzione . Vediamo come evolverà la situazione nei prossimi giorni.

Aggiornamento del 2 aprile 2020: ormai da diversi giorni, per fortuna, la funzione esponenziale si discosta significativamente dall’andamento reale.

Per i dati aggiornati in Italia e nel Lazio scarica il foglio elettronico (formato ods per libreoffice).

Un andamento esponenziale implica un incremento giornaliero percentuale costante.

Ora domandiamoci quale sia la percentuale giornaliera di nuovi contagi quando l’andamento è esponenziale.

è il numero di contagiati fino al giorno

è il numero di contagiati fino al giorno successivo, ovvero il giorno .

La percentuale giornaliera di nuovi contagi è il rapporto tra il numero di nuovi contagi (ovvero ) diviso il numero di contagiati fino al giorno (ovvero ), il tutto moltiplicato per 100 (o meglio, per 100%, visto che il risultato è una percentuale). Per esempio, se si passa da 20 a 30, l’incremento percentuale è .

Indicando con i l’incremento percentuale giornaliero, otteniamo

.

Mettiamo in evidenza a e semplifichiamo:

.

Applichiamo le proprietà delle potenze:

Mettiamo in evidenza e semplifichiamo:

.

Ma b è una costante, quindi anche l’incremento giornaliero è costante.

Per esempio, implica un incremento giornaliero di

Quindi, se l’andamento è esponenziale, e non cambiano nel tempo i valori di a e di b, l’incremento percentuale giornaliero si mantiene costante nel tempo.

Al contrario, il valore assoluto dei nuovi contagi non può, sempre finché si mantiene l’andamento esponenziale, che crescere sempre più di giorno in giorno (con risultati disastrosi, nel caso di un’epidemia): se il 13,875% di 100 è circa 14, quello di 200 è il doppio, quello di 400 il quadruplo, e così via. Più aumenta il numero di contagiati (la base su cui calcolare la percentuale), e più aumenterà il numero di nuovi contagiati il giorno successivo.

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